Квантовая природа излучения
где — энергетическая светимость (излучательность) черного тела; σ=5,67∙10 -8 Вт/м 2 К 4 – постоянная Стефана-Больцмана; Т- термодинамическая температура.
● Связь энергетической светимости и спектральной плотности энергетической светимости или черного тела
● Энергетическая светимость «серого» тела
где АТ – поглощательная способность «серого» тела.
где — длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела; b=2,9∙10 -3 м∙К — постоянная Вина.
● Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела от температуры
● Формула Релея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела
где k- постоянная Больцмана.
где h=6,625∙10 -34 Дж∙с – постоянная Планка.
● Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
где hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла; Авых – работа выхода электрона из металла; — максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
● «Красная граница» фотоэффекта для данного металла
где λ0 – максимальная длина волны излучения ( ν0 – соответственно минимальная частота), при которой фотоэффект еще возможен.
● Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность,
где — облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени); ρ – коэффициент отражения;
— объемная плотность энергии излучения.
● Изменение длины волны рентгеновского излучения при комптоновском рассеянии
где λ и λ′ — длина волн падающего и рассеянного излучений; m0 – масса электрона; θ – угол рассеяния; — комптоновская длина волны.
Примеры решения задач
Задача 1. Математический маятник длиной l1=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l2=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние a центра масс стержня от оси колебаний.
При синхронном колебательном движении маятников их периоды равны ,
Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера:
Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение
Из (3) найдем два корня: a1=10 см, a2=30 см.
Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника возможны два варианта расположения оси.
Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника.
Ответ: a1=10 см, a2=30 см.
Задача 2. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны 0,1 А/м. Определить энергию, переносимую этой волной через поверхность площадью 1 м 2 , расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, за время t = 1 с. Период волны T
Плотность потока энергии электромагнитной волны определяется вектором Пойнтинга:
, где и – векторы напряженности электромагнитного и магнитного полей. Учитывая, что векторы и электромагнитной волны взаимно перпендикулярны, для модуля вектора p получим
Так как величины E и H в каждой точке волны меняются со временем по гармоническому закону, находясь в одинаковых фазах, то мгновенное значение p равно
Энергия, переносимая через площадку S, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени,
Учитывая, что в электромагнитной волне
Тогда выражение (*) принимает вид
Энергия, переносимая волной за время t, равна
Подставляя числовые значения, получим
W = (0,1 А/м) 2 1 м 2 1 с = 1,88 Дж
Задача 3. Радиусы кривизны поверхностей линзы R1 = R2 = 20 см. Определить: а) фокусное расстояние линзы в воздухе; б) фокусное расстояние этой же линзы, погруженной в жидкость (nж = 1,7). Показатель преломления материала линзы nл = 1,5.
Применим данную формулу для случая (a), когда линза находится в воздухе, учитывая, что R1 = R2 = R
Для случая (б), когда линза погружена в жидкость
Задача 4. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между вторым и двадцатым темными кольцами Δ τ2,20 = 4,8 мм
Найти расстояние между девятым и шестнадцатым темными кольцами Ньютона.
Радиус темных колец в отраженном свете определяется формулой:
Ответ: Δ τ9,16 = 1,57 10 – 3 м = 1,57 мм
Задача 5. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет. Определить угол дифракции для линии λ1 = 550 нм в четвертом порядке, если этот угол для линии λ2 = 600 нм в третьем порядке составляет 30˚.
Формула дифракционной решетки для двух линий
Поделим уравнение (1) на уравнение (2) и получим
Задача 6. Найдите угол полной поляризации (iБр) при отражении света от стекла (nc = 1,57), помещенного в воду (nв = 1,33). Определить скорость света в воде.
Согласно закону Брюстера tg iБр = при этом n1 = nв; n2 = nс
Тогда tg iБр = = 1,18, следовательно, iБр = arctg 1,18 ≈ 50˚
Абсолютный показатель преломления среды n = , тогда, зная nв, найдем скорость распространения света в воде: V = = = 2,26 10 8
Ответ: iБр ≈ 50˚; V = 2,26 10 8
Задача 7. Температура внутренней поверхности электрической печи
T = 700˚C. Определите мощность излучения печи через небольшое отверстие диаметром d = 5 см, рассматривая его как излучение абсолютно черного тела.
Из закона Стефана – Больцмана энергетическая светимость (излучательность) черного тела R = σ T 4 . Другой стороны, N = R S, где S – площадь отверстия.
S = П τ 2 = П ( ) 2 = , подставим
N = R S = σ T 4 * = = 9,97 10 1 = 99,7 Вт
Задача 8. Красная граница фотоэффекта для металла λк = 6,2 10 – 5 см. Найти величину запирающего напряжения для фотоэлектронов при освещении металла светом длиной волны λ = 330 нм.
Запирающее напряжение – это напряжение на электродах, способное остановить электроны, вылетевшие из металла. Следовательно, работа сил электрического поля Аэ равна кинетической энергии фотоэлектронов. Аэ = Ек или е U = Ек. Кинетическую энергию определяем из уравнения Эйнштейна.
Если известна красная граница фотоэффекта, то работа выхода определяется из выражения Aвых = h νк = h
Источник
Квантовая природа излучения
Проблема теплового излучения – важная задача формировании научного мировоззрения студентов, так как с теорией равновесного излучения абсолютно черного тела связан переход от классической физики к квантовой. Важно подчеркнуть согласие классической теории с опытом в области малых частот и катастрофическое расхождение в области больших частот. Необходимо рассмотреть гипотезу Планка о квантовании энергии осцилляторов. Полный вывод средней энергии осциллятора и формулы Планка на основе этой гипотезы приводить не обязательно. Следует вывести законы Стефана Больцмана и Вина из формулы Планка, а также показать, что при малых частотах она переходит в классическую формулу Рэлея — Джинса.
После анализа трудностей классической физики в объяснении законов внешнего фотоэффекта нужно остановиться на гипотезе Эйнштейна о «световых квантах». В этой связи нужно рассмотреть опыты А. Ф. Иоффе и Н. И. Добронравова, а также рассказать о работе А. Эйнштейна по исследованию флуктуаций плотности энергии и давления излучения. Основываясь на формуле Планка, Эйнштейн показал, что эти флуктуации излучения представляют просто сумму соответствующих волновых и корпускулярных флуктуаций.
При изложении светового давления необходимо остановится на опытах
П. Н. Лебедева, сыгравших большую роль в утверждении электромагнитной теории света Максвелла. Следует качественно пояснить возникновение светового давления с классической точки зрения и вывести формулу для давления на основе квантовых представлений. Эффект Комптона нужно рассматривать как наиболее полное и яркое проявление корпускулярных свойств излучения. Он также убедительно подтверждает универсальный характер законов сохранения, которые оказываются справедливыми, в частности, и в каждом отдельном акте взаимодействия фотона с электроном.
Анализ двойственности свойств света должен подготовить студентов к восприятию двойственности свойств вещества. Важно подчеркнуть статистический характер попадания фотонов в отдельные точки экрана.
Элементы атомной физики и квантовой механики
Обсуждая опыты по дифракции электронов, нужно подчеркнуть их значение как доказательство существования у частиц вещества волновых свойств. Соотношение неопределенностей следует рассматривать в связи с корпускулярно-волновым дуализмом свойств материи. Соответственно нужно проявлять, особую осторожность при обосновании указанного соотношения с помощью мысленных опытов. Можно получить соотношение неопределенностей, рассматривая частицу как группу волн де Бройля. Однако при этом нужно, обязательно сказать об ограниченности такого представления частицы из-за сильной дисперсии волн де Бройля, приводящей к «быстрому расплыванию» волнового пакета. Следует подчеркнуть физический смысл соотношения неопределенностей как квантового ограничения применимости понятий классической механики. Затем необходимо рассмотреть соотношение неопределенностей для энергии и времени. В заключение нужно указать, что из соотношения неопределенностей вытекает необходимость описания состояния микрообъекта с помощью волновой функции, и разъяснить статистический смысл волновой функции частицы.
Далее следует записать общее уравнение Шредингера для частицы, находящейся во внешнем силовом поле (в общем случае, нестационарном), и перейти от него к уравнению Шредингера для стационарных состояний. В качестве примеров решения стационарных задач с помощью уравнения Шредингера нужно рассмотреть свободную частицу и частицу, находящуюся в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» бесконечной глубины. На основе соотношения неопределенностей следует пояснить, почему энергия частицы в «потенциальной яме» не может быть сколь угодно малой. В конце решения этой задачи необходимо сформулировать принцип соответствия Бора.
В задачах о линейном гармоническом осцилляторе и атоме водорода не следует приводить полностью ход решения уравнения Шредингера. Достаточно обсудить постановку и результаты решения этих задач в классической физике и квантовой механике. Полезно использовать соотношение неопределенностей для обоснования существования нулевых колебаний осциллятора. В задаче об атоме водорода нужно кратко напомнить об опытах Резерфорда и теории Бора. Следует остановиться на правилах квантования энергии и орбитального момента импульса электрона в атоме водорода и других одноэлектронных системах, пояснив смысл трех квантовых чисел.
Необходимо показать с помощью соотношения неопределенностей, что туннельный эффект не противоречит закону сохранения энергии.
После рассмотрения опытов Штерна и Герлаха и введения спинового квантового числа следует остановиться на делении элементарных частиц и построенных из них систем (атомов, молекул) на 2 класса — фермионы и бозоны. Далее следует сформулировать принцип неразличимости тождественных частиц и принцип Паули для системы фермионов, на основе которого рассмотреть распределение электронов в атоме по состояниям. Нужно рассказать об открытии комбинационного рассеяния света Л. И. Мандельштамом и Г. С. Ландсбергом и парамагнитного резонанса Е. К. Завойским.
Изложение вопроса о поглощении излучения и его спонтанном и вынужденном испускании рекомендуется завершить выводом формулы Планка по Эйнштейну и разъяснением принципа действия лазера и особенностей генерируемого им излучения. Следует указать на вклад Н. Г. Басова и А. М. Прохорова в создании квантовых генераторов излучения.
Источник