Квантовый туннельный эффект
Имеется вероятность, что квантовая частица проникнет за барьер, который непреодолим для классической элементарной частицы.
Представьте шарик, катающийся внутри сферической ямки, вырытой в земле. В любой момент времени энергия шарика распределена между его кинетической энергией и потенциальной энергией силы тяжести в пропорции, зависящей от того, насколько высоко шарик находится относительно дна ямки (согласно первому началу термодинамики). При достижении шариком борта ямки возможны два варианта развития событий. Если его совокупная энергия превышает потенциальную энергию гравитационного поля, определяемую высотой точки нахождения шарика, он выпрыгнет из ямки. Если же совокупная энергия шарика меньше потенциальной энергии силы тяжести на уровне борта лунки, шарик покатится вниз, обратно в ямку, в сторону противоположного борта; в тот момент, когда потенциальная энергия будет равна совокупной энергии шарика, он остановится и покатится назад. Во втором случае шарик никогда не выкатится из ямки, если не придать ему дополнительную кинетическую энергию — например, подтолкнув. Согласно законам механики Ньютона, шарик никогда не покинет ямку без придания ему дополнительного импульса, если у него недостаточно собственной энергии для того, чтобы выкатиться за борт.
А теперь представьте, что борта ямы возвышаются над поверхностью земли (наподобие лунных кратеров). Если шарику удастся перевалить за приподнятый борт такой ямы, он покатится дальше. Важно помнить, что в ньютоновском мире шарика и ямки сам факт, что, перевалив за борт ямки, шарик покатится дальше, не имеет смысла, если у шарика недостаточно кинетической энергии для достижения верхнего края. Если он не достигнет края, он из ямы просто не выберется и, соответственно, ни при каких условиях, ни с какой скоростью и никуда не покатится дальше, на какой бы высоте над поверхностью снаружи ни находился край борта.
В мире квантовой механики дело обстоит иначе. Представим себе, что в чем-то вроде такой ямы находится квантовая частица. В этом случае речь идет уже не о реальной физической яме, а об условной ситуации, когда частице требуется определенный запас энергии, необходимый для преодоления барьера, мешающего ей вырваться наружу из того, что физики условились называть «потенциальной ямой». У этой ямы есть и энергетической аналог борта — так называемый «потенциальный барьер». Так вот, если снаружи от потенциального барьера уровень напряженности энергетического поля ниже, чем энергия, которой обладает частица, у нее имеется шанс оказаться «за бортом», даже если реальной кинетической энергии этой частицы недостаточно, чтобы «перевалить» через край борта в ньютоновском понимании. Этот механизм прохождения частицы через потенциальный барьер и назвали квантовым туннельным эффектом.
Работает он так: в квантовой механике частица описывается через волновую функцию, которая связана с вероятностью местонахождения частицы в данном месте в данный момент времени. Если частица сталкивается с потенциальным барьером, уравнение Шрёдингера позволяет рассчитать вероятность проникновения частицы через него, поскольку волновая функция не просто энергетически поглощается барьером, но очень быстро гасится — по экспоненте. Иными словами, потенциальный барьер в мире квантовой механики размыт. Он, конечно, препятствует движению частицы, но не является твердой, непроницаемой границей, как это имеет место в классической механике Ньютона.
Если барьер достаточно низок или если суммарная энергия частицы близка к пороговой, волновая функция, хотя и убывает стремительно при приближении частицы к краю барьера, оставляет ей шанс преодолеть его. То есть имеется определенная вероятность, что частица будет обнаружена по другую сторону потенциального барьера — в мире механики Ньютона это было бы невозможно. А раз уж частица перевалила через край барьера (пусть он имеет форму лунного кратера), она свободно покатится вниз по его внешнему склону прочь от ямы, из которой выбралась.
Квантовый туннельный переход можно рассматривать как своего рода «утечку» или «просачивание» частицы через потенциальный барьер, после чего частица движется прочь от барьера. В природе достаточно примеров такого рода явлений, равно как и в современных технологиях. Возьмем типичный радиоактивный распад: тяжелое ядро излучает альфа-частицу, состоящую из двух протонов и двух нейтронов. С одной стороны, можно представить себе этот процесс таким образом, что тяжелое ядро удерживает внутри себя альфа-частицу посредством сил внутриядерной связи, подобно тому как шарик удерживался в ямке в нашем примере. Однако даже если у альфа-частицы недостаточно свободной энергии для преодоления барьера внутриядерных связей, всё равно имеется вероятность ее отрыва от ядра. И, наблюдая спонтанное альфа-излучение, мы получаем экспериментальное подтверждение реальности туннельного эффекта.
Другой важный пример туннельного эффекта — процесс термоядерного синтеза, питающий энергией звезды (см. Эволюция звезд). Один из этапов термоядерного синтеза — столкновение двух ядер дейтерия (по одному протону и одному нейтрону в каждом), в результате чего образуется ядро гелия-3 (два протона и один нейтрон) и испускается один нейтрон. Согласно закону Кулона, между двумя частицами с одинаковым зарядом (в данном случае протонами, входящими в состав ядер дейтерия) действует мощнейшая сила взаимного отталкивания — то есть налицо мощнейший потенциальный барьер. В мире по Ньютону ядра дейтерия попросту не могли бы сблизиться на достаточное расстояние и синтезировать ядро гелия. Однако в недрах звезд температура и давление столь высоки, что энергия ядер приближается к порогу их синтеза (в нашем смысле, ядра находятся почти на краю барьера), в результате чего начинает действовать туннельный эффект, происходит термоядерный синтез — и звезды светят.
Наконец, туннельный эффект уже на практике применяется в технологии электронных микроскопов. Действие этого инструмента основано на том, что металлическое острие щупа приближается к исследуемой поверхности на сверхмалое расстояние. При этом потенциальный барьер не дает электронам из атомов металла перетечь на исследуемую поверхность. При перемещении щупа на предельно близком расстоянии вдоль исследуемой поверхности он как бы перебирает атом за атомом. Когда щуп оказывается в непосредственной близости от атомов, барьер ниже, чем когда щуп проходит в промежутках между ними. Соответственно, когда прибор «нащупывает» атом, ток возрастает за счет усиления утечки электронов в результате туннельного эффекта, а в промежутках между атомами ток падает. Это позволяет подробнейшим образом исследовать атомные структуры поверхностей, буквально «картографируя» их. Кстати, электронные микроскопы как раз и дают окончательное подтверждение атомарной теории строения материи.
Источник
5.5. Туннельный эффект
При описании движения классической частицы в потенциальном “ящике “ считается, что частица может покинуть потенциальный “ящик” или проникнуть в него, если ей сообщить энергию, равную или большую разности высоты потенциального барьера и ее собственной энергии. Квантовая механика допускает вероятность прохождения частицы сквозь потенциальные барьеры при меньших значениях ее энергии по сравнению с энергией потенциального барьера. Такое явление получило название туннельного эффекта.
Пусть квантовая частица с массой m движется вдоль оси Х слева направо. Сталкиваясь с потенциальным барьером высотой Wpo:
причем энергия частицы W меньше высоты потенциального барьера Wpo.
При х > 0, т. е. в области, в которую не способна проникнуть не квантовая частица уравнение Шредингера имеет вид
Решениями этого уравнения являются две экспоненты:
(х) 
, где
.
Экспонента с положительным показателем физического смысла не имеет и должна быть исключена, т. к. предсказывает неограниченный рост вероятности обнаружения частицы за барьером с увеличением глубины проникновения х.
Следовательно, при х > 0 частица с энергией W < Wpo имеет волновую функцию, которая изменяется как (х) .
Это значит, что при х > 0 координаты частицы распределены с плотностью вероятности 
],
где w(0) равно значению величины (х) 2 при х = 0.
Следовательно, с увеличением глубины проникновения х частицей плотность вероятности W(x) убывает экспортенциально. Причем убывание происходит тем быстрее, чем больше разность (Wpo W).
Таким образом, на глубине проникновения
плотность вероятности W(x) уменьшается в е раз.
Например, для электрона (m = 9,1110 31 кг), для которого Wpo W 10 -3 эВ= = 1,610 22 Дж, глубина проникновения х0 10 9 м = 10 Å . На такие расстояния удаляются от поверхности металла электроны проводимости, энергия которых 10 3 эВ меньше глубины потенциальной ямы, удерживающей электроны внутри металла (потенциальная яма создается взаимодействием электронов с положительными ионами кристаллической решетки металла).
Явление туннельного эффекта (подбарьерное прохождение) характеризуется коэффициентом прозрачности D потенциального барьера. Прозрачность барьера зависит от “формы” и высоты потенциального барьера. Например, если потенциальный барьер прямоугольный высотой Wро и шириной d (рис. 5.4, а), то его прозрачность
D =D0exp(), (5.27)
где h постоянная Планка; m масса частицы; W полная энергия частицы; D0 постоянный коэффициент, близкий к единице. Вероятность туннелирования частицы (5.27), тем меньше, чем больше ширина барьера и чем меньше полная энергия налетающей частицы. Проницаемость барьера уменьшается и с увеличением массы частицы. Если барьер не прямоугольный и его высота зависит от координаты и медленно изменяется (рис. 5.4, б), то прозрачность барьера
D = D0exp (), (5.28)
где в точках х1(W) и х2(W) начала и конца потенциального барьера
Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер возможно благодаря существова6ию под барьером волновой функции, «прокладывающей» путь частице вплоть до точки х2 (рис. 5.4, б) и правее этой точки, т. е. приводит к возможности обнаружить ее в области, запрещенной классической физикой.
Если полная энергия частицы W меньше высоты потенциального барьера Wp, то в области, где Wp(x) > W, кинетическая энергия частицы (Wk = p 2 / 2m) отрицательна, т. к. W = Wk+ Wp(x).
С классической точки зрения эта область недоступна для такой частицы, т. к. невозможно существование мнимой кинетической энергии (мнимого импульса). Квантовая механика допускает возможность обнаружить частицу в этой области (парадокс туннельного эффекта).
Однако здесь нет парадокса и рассуждения о мнимом импульсе частицы неверны, т. к. туннельный эффект чисто квантовое явление.
В классической физике W = Wk+ Wp(x), т. е. можно одновременно определить кинетическую и потенциальную энергии с высокой степенью точности (Wp зависит от координаты, Wk от импульса). В квантовой механике согласно соотношениям неопределенностей Гейзенберга нельзя одновременно точно определить импульс и координату (или потенциальная Wp и кинетическая Wk энергии частицы не могут быть одновременно определены точно). Следовательно, равенство W= Wk+ Wp(x) в квантовой механике применять нельзя. В квантовой механике движение частицы описывается волновой функцией (x, y, z, t). В случае одномерного движения частицы при фиксировании ее в определенной области х следует, что глубина проникновения ее в классически запрещенную область внутри потенциального барьера
. (5.29)
Поэтому изменение импульса частицы
. (5.30)
Тогда, изменение кинетической энергии
. (5.31)
Следовательно, изменение кинетической энергии превышает величину энергии, недостающей частице, находящейся внутри потенциальной ямы для того, чтобы она могла “классическим “ способом покинуть потенциальную яму. Проявление туннельного эффекта обнаружено в явлениях: распада радиоактивных ядер, холодной эмиссии электронов, примесной проводимости полупроводников, в эффекте Джозефсона и т. д. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике служит проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояние порядка длины волны света) в условиях, когда с точки зрения геометрической оптики происходит полное внутреннее отражение.
Источник