Множество элементов произвольной природы

Содержание

Пространств
4 Понятие функционала. Функционалы в метрических и линейных пространствах
Урок 10. Некоторые сведения из теории множеств

Пространств

Многие понятия теории метрических пространств (предел, предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества, граница множества, непрерывность и т. д.) вводятся, опираясь на понятие окрестности или, что тоже самое, на понятие открытого множества. Понятие окрестность и открытое множество определяются с помощью метрики.

Можно стать на другой путь и, не вводя в данном множестве Х метрику, непосредственно определить в Х систему открытых множеств посредством введения аксиом.

Свойства открытых множеств метрического пространства принимаются в качестве аксиом. Этот путь приводит нас к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой частный случай.

Определение 1. Пусть Х – непустое множество элементов произвольной природы, Ф = < >– семейство подмножеств множества Х, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Само множество Х и пустое множество Æ принадлежат семейству Ф.

2. Объединение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф.

3. Пересечение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф.

Тогда семейство Ф называется топологией или топологической структурой.

Пара (Х, Ф) или, другим словами, множество Х, в котором задана некоторая топология, называется топологическим пространством.

Элементы множества Х называются точками топологического пространства, элементы семейства Ф называются открытыми множествами в (Х, Ф).

Когда не может возникнуть недоразумений, разрешается просто писать: Х – топологическое пространство, G – открытое множество, то есть не указывать постоянно связь с топологией Ф.

Примеры топологических пространств.

Пример 1. Х – произвольное множество. Из аксиомы 1 топологического пространства вытекает, что среди открытых множеств любой топологической структуры в Х обязательно должны быть пустое множество Æ и само множество Х. Очевидно, что для семейства

которое состоит лишь из этих двух множеств, выполняются также и аксиомы 2 и 3.

Поэтому Ф_т = является простейшей топологической структурой в Х. Эта топология называется тривиальной, а пара (Х, Ф) тривиальным топологическим пространством. Иногда эту пару называют антидискретным топологическим пространством.

Пример 2. Другой крайностью является так называемое дискретное топологическое пространство (Х, Ф_d), где Ф_d представляет собой семейство всех подмножеств множества Х. Очевидно, что и в этом случае все аксиомы 1 – 3 выполняются.

Пример 3. Двуточечное топологическое пространство:

Проверить выполнение аксиом 1 – 3 самостоятельно.

Пример 4. Пусть Х = R 3 . Открытыми в Х множествами назовем только открытые шары U(r) с общим центром О и радиусом r, а также всё множество Х и пустое множество.

Очевидно, аксиома 1 выполняется.

Пусть a)> – любая система открытых множеств. Тогда их объединением будет шар с центром О и радиусом r = .

Следовательно, аксиома 2 выполняется.

Пересечением двух множеств U(r₁) и U(r₂) будет множество U(r), где r = , то есть аксиома 3 также выполняется.

Выделенное нами семейство открытых множеств является топологией в R 3 , которую иногда называют концентрической.

Пример 5. Пусть множество – квадрат, т.е. множество точек на плоскости, координаты которых связаны соотношениями и . Под открытыми множествами будем понимать пустое множество, множество , а также «полосы», т.е. множество точек , первые координаты которых связаны соотношением: , где . Будет ли топологическим пространством?

По условию задачи имеем , где . Проверим, будет ли семейство удовлетворять трем аксиомам топологии. Первая из них выполняется по условию. Проверим вторую аксиому: , где .

Следовательно, вторая аксиома выполняется. Проверим третью аксиому:

Третья аксиома топологии выполнена. Следовательно, пара – топологическое пространство.

Пример 6. Пусть – бесконечное множество, и состоит из , и тех подмножеств , дополнения которых конечны. Доказать, что – топологическое пространство.

Доказательство. , где и – конечное множество. Проверим, что совокупность множеств удовлетворяет трем аксиомам топологии. Первая из них выполняется тривиально. Для проверки второй и третьей аксиом воспользуемся формулами двойственности (де Моргана). Для проверки второй аксиомы получаем: – пересечении конечных множеств конечно, следовательно, , и вторая аксиома выполнена. Для проверки третьей аксиомы предположим, что и поэтому множества и конечные. Тогда также конечное множество, но оно равно и, таким образом, . Следовательно, — топологическое пространство.

Пример 7. Х = , А = , B = , Ф = .

Очевидно Ф – не является топологической структурой, так как

Примеры показывают, что в любом не пустом множестве Х можно ввести топологию. При этом в одном и том же множестве Х можно определить разные топологии и получить различные топологические пространства.

Определение 2. Пусть в множестве Х введены две топологии Ф₁ и Ф₂. Говорят, что Ф₁ сильнее Ф₂ (или Ф₂ слабее Ф₁ ), если Ф₂ Ì Ф₁, то есть любое множество из Ф₂ принадлежит Ф₁.

Очевидно, самой сильной топологией является дискретная топология, а самой слабой – тривиальная.

А вообще – две топологии на одном и том же множестве могут быть несравнимыми.

Дата добавления: 2015-08-13 ; просмотров: 75 | Нарушение авторских прав

\|	следующая страница ==>
ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ	\|	Пример.

mybiblioteka.su — 2015-2023 год. (0.016 сек.)

Источник

4 Понятие функционала. Функционалы в метрических и линейных пространствах

ПРОСТРАНСТВОМ принято называть множество элементов произвольной природы, в котором тем или иным способом введено понятие предела последовательности его элементов.

МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВОМ называется множество элементов произвольной природы, если каждой паре его элементов и поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число , удовлетворяющее трем условиям:

(аксиома тождества).
(аксиома симметрии).
(неравенство треугольника).

При этом число называют метрическим расстоянием (или просто расстоянием) от элемента до элемента , а элементы пространства – точками. Перечисленные в определении условия принято называть аксиомами метрики.

ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ (над полем вещественных чисел) называется множество элементов произвольной природы, если выполнены следующие условия:

задано правило, в соответствии с которым любым двум элементам поставлен в соответствие третий элемент , который обозначают и называют суммой;
задано правило, в соответствии с которым любому элементу и любому действительному числу поставлен в соответствие элемент , именуемый произведением на действительное число;
выполняется свойство коммутативности для любых ;
операция суммирования обладает ассоциативным свойством ;

существует нулевой элемент такой, что для любого справедливо равенство ;
существует противоположный элемент такой, что для любого справедливо равенство ;
имеют место ассоциативное свойство для любых и , а также дистрибутивное свойство и ;
выполняется условие для любого .

Определение : переменная величина v называется функционалом, зависящим от функции x(t). Что обозначается так: v = v[x(t)], если каждой функции x(t) из некоторого класса функций соответствует значение v, т.е. имеет место соответствие: функции x(t) соответствует число v. (пример – длина дуги криво, соединяющей две заданные точки – м/б вычислено если задано уравнение кривой)

Функциона́л — числовая функция, заданная на векторном пространстве. Функционал берёт в качестве аргумента элемент линейного пространства (вектор) и возвращает в качестве результата скаляр. Довольно часто в роли линейного пространства выступает то или иное пространство функций (непрерывные функции на отрезке, интегрируемые функции на плоскости т. д. Поэтому, неформально говоря, функционал — это функция от функций, переводящая функцию в число (действительное или комплексное).

норма функции неотрицательное число – норма элемента, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам нормы):

.
для любого .

3. для любых

значение функции в фиксированной точке
максимум или минимум функции на отрезке
величина интеграла от функции
Пожалуй, самый простой функционал — проекция (сопоставление вектору одной из его координат).

Для следующих трёх определений будем считать, что область определения функционала является линейным пространством.

Определение 4. Функционал называется однородным функционалом, если для любого действительного числа и для любого элемента выполняется равенство:

Определение 5. Функционал называется аддитивным функционалом, если для любых двух элементов справедливо

Определение 6. Функционал называется линейным функционалом, если он одновременно однородный и аддитивный.

Определение 7. Пусть в метрическом пространстве с метрикой задан функционал . Этот функционал называют непрерывным в точке , если для любого числа можно указать такое число , что для всех элементов , которые удовлетворяют неравенству , будет справедливо неравенство .

Если функционал непрерывен в любой точке , то он называется непрерывным в пространстве .

Источник

Урок 10. Некоторые сведения из теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором, создателем теории множеств.

Немецкий математик, создатель теории множеств

Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Под множеством мы можем понимать: учеников класса, фрукты, деревянные предметы, числа и т. д.

Множество учеников класса

Множество деревянных предметов

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,D и т. д.).

Множество можно задать перечислением всех его элементов, заключенных в фигурные скобки:

Из некоторых элементов одного множества можно составить новое. Тогда такое множество Е принято называть подмножеством D:

Для наглядности множества можно изображать в виде окружности, так называемых кругов Эйлера, где элементы, входящие в множество, изображают внутри круга, а остальные вне:

Пересечением множеств называется множество их общих элементов.

Пусть множество A будет состоять из элементов 1,3,6,9,12,15, а множество B из элементов 2,4,6,8,10,12. Тогда в пересечение этих множеств будет входить 2,6,12:

Множество может не содержать элементы, тогда оно будет называться пустым.

Если множества не имеют общих элементов, то их пересечение — пустое множество:

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов:

Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В:

Если множество А является подмножеством B, то дополнением называется разность множества А и В:

Мощностью множества называется число его элементов: A=

Таким образом, мощность непересекающихся множеств будет являться суммой мощностей каждого множества:

Для вычисления мощности пересекающихся множеств можно использовать принцип включений и исключений:

Для вычисления мощности пересечения трех множеств принцип включений и исключений выглядит так:

В классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 футболистов. Известно, что в классе 25 детей, а ребят занимающихся футболом и плаваньем — 10, борьбой и плаваньем — 3, борьбой и футболом — 2 и только один ребенок занимается всеми тремя видами спорта. Сколько детей в классе не занимаются спортом?

Таким образом, в классе 24 ребенка занимаются хотя бы одним видом спорта, ответ 1

Множество общих элементов двух множеств

Совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое

Число элементов множества

Множество элементов, не входящих в подмножество

Множество, состоящее из всех элементов двух (или более) множеств и не содержащее никаких других элементов

Ваше решение должно быть таким:

Источник
Читайте также: Зонная природа человеческого слуха