Множество совокупность объектов любой природы

2124 Министерство транспорта российской федерации

Элементы теории множеств: Методические указания и индивидуальные задания (для инженерно-технических специальностей) / О.Е. Лаврусь. – Самара: СамГУПС, 2008. – 43 с.

Утверждено на заседании кафедры 22 октября 2007 г., протокол №2.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГУПС.

Методические указания составлены в соответствии с государственным образовательным стандартом и посвящены основным разделам теории множеств. Кроме теоретического материала приведены примеры, а также индивидуальные задания.

Предназначены для студентов технических специальностей.

Составитель: Лаврусь О.Е., к. т. н., доцент

Рецензенты: Гуменникова Ю.В, к. ф.-м. н., доцент СамГАПС

Воскресенская Г.В, к. ф.-м. н., доцент СамГУ

Под редакцией составителя

Подписано в печать 20.05.2008. Формат 60х90 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л.

© Самарский государственный университет

Оглавление

1. Множества, элементы множества, пустые множества ……….

2. Равенство множеств. Подмножество. Универсальное множес-тво. Дополнение множества …………………………………….

3. Операции над множествами ……………………………………..

4. Основные законы операций над множествами ……………….

5. Мощность множества. Эквивалентность ……………………….

6. Числовые множества. Множества точек на прямой, задавае-мые алгебраическими уравнениями и неравенствами ……….

7. Множества точек на плоскости, задаваемые уравнениями и неравенствами с двумя переменными ………………………….

8. Функция. Область определения и область значения функции ..

9. Понятие функции нескольких переменных ……………………

1. Множества, элементы множества, пустые множества

Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий: оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров.

множество дисциплин, изучаемых студентами: ;

множество решений уравнения x 2 – 4 = 0: .

Таким образом, множество – это совокупность объектов любой природы, называемых элементами этого множества.

Элементы каждого множества заключаются в фигурные скобки. Сами множества обозначают прописными латинскими буквами. Например, А = – множество, содержащее данные элементы. Заметим, что множество А совпадает с одним из множеств, приведенных выше, поскольку порядок, в котором записываются элементы множества, значения не имеет.

Элементы множества обозначают строчными латинскими буквами. Запись а  А обозначает, что объект а есть элемент множества А (а принадлежит множеству А). Если объект а не принадлежит множеству А, то пишут а  А.

Термин «множество» употребляется независимо от того, много или мало в этом множестве элементов.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком .

Если множество содержит конечное число элементов, то его можно задать перечислением этих элементов (или пересчитать). Но не всякое конечное множество можно перечислить. Например, множество звезд на небе, множество натуральных чисел и т.д. Тем более нельзя перечислить все элементы бесконечного множества.

В таких случаях множества считаются заданными, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы, и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойство множества.

Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Например, запись

Поскольку любое натуральное нечетное число может быть записано в виде 2n – 1, где n – любое натуральное число, то альтернативное определение того же множества задается формулой:

В геометрии множество точек, обладающих данным характеристическим свойством, часто называют геометрическим местом точек с данным свойством. Например, окружность – геометрическое место точек плоскости, расстояние которых от данной точки O (центра окружности) равно числу R (радиусу окружности).

Источник

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МНОЖЕСТВО совокупность объектов любой

МНОЖЕСТВО – совокупность объектов любой природы, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, составляющие множество, называются элементами этого множества. Обозначается: А – множество, а – элемент множества А

ПРИМЕРЫ МНОЖЕСТВ: Множество студентов ВУЗа Множество аквариуме Множество причале рыб судов в на

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым 0. Пусть Х и У – два множества. Между ними возможны следующие отношения: 1 Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают. Х=У

2 Если все элементы множества Х содержатся в У, то Х является подмножеством У.

3 ОБЪЕДИНЕНИЕМ двух множеств Х и У называется множество Z, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств.

4 ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ двух множеств Х и У называется множество Z, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств.

5 РАЗНОСТЬЮ двух множеств Х и У называется множество Е, состоящее из всех элементов множества Х, которые не принадлежат множеству У.

Если каждому элементу х множества Х ставится в соответствие определенный элемент у множества У, то говорят, что на множестве Х задана функция

1. Четность Функция y=f(x) называется четной, если для любого х

Функция y=f(x) называется нечетной, если для любого х Если оба эти условия не выполняются, то функция называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Источник

2. Функция. Бинарное отношение. Тотальность, сюръективность, инъективность, биективность. Примеры Множество

Множество — совокупность объектов любой природы. Эти объекты называются элементами множества.

Символ — отношение принадлежности. Запись означает, что элемент принадлежит множеству . Если элемент не принадлежит множеству , то пишут (или ).

Принцип объёмности. означает, что множества и состоят из одних и тех же элементов. Пример: . Но .

Символ — отношение включения. Запись означает, что каждый элемент множества есть элемент множества . То есть — подмножество множества .

Символ — отношение строгого включения (то есть ). Запись означает, что каждый элемент множества есть элемент множества и больше по количеству элементов. То есть — собственное подмножество множества .

• .
• Если , то .
• Если , то .

Нельзя смешивать понятия принадлежности и включения. Хотя , , но неверно, что , а — верно. Пустое множество — множество, не содержащее элементов. Пустое множество есть подмножество любого множества. У каждого множества есть два подмножества, которые называютнесобственными— само множество и пустое множество. Все остальные подмножества —собственные. Множество всех подмножеств называется множеством-степенью (или булеаном) и обозначается . Пример.. Собственные подмножества : , несобственные: . Если множество состоит из элементов, то множество состоит из элементов.Объединение множеств () — множество, все элементы которого являются элементами множества или: . . Пример.. Пересечение множеств () — множество, все элементы которого являются элементами множеств и: . . Очевидно, что и . Пример.. Множества и — непересекающиеся, если .Разность () — множество, все элементы которого являются элементами множества и не принадлежат множеству : . Пример.. Симметрическая разность () — множество, каждый элемент которого есть либо в , либо в , но не в обоих. . Пример.. Универсальное множество — множество всех рассматриваемых в ходе данного рассуждения множеств. Дополнение () — множество всех элементов , которые не принадлежат множеству . То есть . Причём: . Пример.. Прямое (декартово) произведение () — множество всех упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит множеству , а второй множеству : . Прямое произведение множеств () — множество всевозможных упорядоченных наборов из элементов , где . То есть Каждый такой набор элементов называется кортежем. Произведение множества самого на себя называется квадратом множества и обозначается . Аналогично -ая степень : . Пример. . Пример. . Операция дистрибутивна (), но не коммутативна () и не ассоциативна (). Диаграммы Эйлера — Венна. На диаграммах Эйлера — Венна множество изображается прямоугольником, а множества — областями внутри прямоугольника. На следующем рисунке проиллюстрированы введённые определения операций над множествами. Рисунок 13 Алгебра множеств — это пример булевой алгебры, поэтому все указанные далее (см. следующую таблицу) свойства операций следуют из свойств дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. Таблица 2

Свойства операций над множествами
Идемпотентность
Коммутативность
Ассоциативность
Дистрибутивность
Свойства
Свойства
Свойства дополнения
Законы поглощения
Законы де Моргана

Источник

Урок 10. Некоторые сведения из теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором, создателем теории множеств.

Немецкий математик, создатель теории множеств

Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Под множеством мы можем понимать: учеников класса, фрукты, деревянные предметы, числа и т. д.

Множество учеников класса

Множество деревянных предметов

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,D и т. д.).

Множество можно задать перечислением всех его элементов, заключенных в фигурные скобки:

Из некоторых элементов одного множества можно составить новое. Тогда такое множество Е принято называть подмножеством D:

Для наглядности множества можно изображать в виде окружности, так называемых кругов Эйлера, где элементы, входящие в множество, изображают внутри круга, а остальные вне:

Пересечением множеств называется множество их общих элементов.

Пусть множество A будет состоять из элементов 1,3,6,9,12,15, а множество B из элементов 2,4,6,8,10,12. Тогда в пересечение этих множеств будет входить 2,6,12:

Множество может не содержать элементы, тогда оно будет называться пустым.

Если множества не имеют общих элементов, то их пересечение — пустое множество:

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов:

Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В:

Если множество А является подмножеством B, то дополнением называется разность множества А и В:

Мощностью множества называется число его элементов: A=

Таким образом, мощность непересекающихся множеств будет являться суммой мощностей каждого множества:

Для вычисления мощности пересекающихся множеств можно использовать принцип включений и исключений:

Для вычисления мощности пересечения трех множеств принцип включений и исключений выглядит так:

В классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 футболистов. Известно, что в классе 25 детей, а ребят занимающихся футболом и плаваньем — 10, борьбой и плаваньем — 3, борьбой и футболом — 2 и только один ребенок занимается всеми тремя видами спорта. Сколько детей в классе не занимаются спортом?

Таким образом, в классе 24 ребенка занимаются хотя бы одним видом спорта, ответ 1

1. Множество общих элементов двух множеств
2. Совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое
3. Число элементов множества
4. Множество элементов, не входящих в подмножество
5. Множество, состоящее из всех элементов двух (или более) множеств и не содержащее никаких других элементов

Ваше решение должно быть таким:

Источник