Матрично-графовое моделирование природно-технических систем
В статье предлагаются общие теоретические подходы к математическому матрично-графовому моделированию природно-технических систем с целью оптимизации управления процессами, происходящими в системах для снижения вредного воздействия технической подсистемы на природную.
В условиях современного производства должна работать так называемая концепция равновесного природопользования: общество должно управлять развитием производительных сил таким образом, чтобы нагрузка на природную среду не превышала ее восстановительного потенциала. Для обеспечения такого рационального природопользования необходимо всесторонне изучать совокупность природной и технической сред во взаимозависимом комплексе. Такой комплекс условно можно обозначить понятием природно-технической системы (ПТС). При комплексном анализе экологической безопасности применяются различные математические модели ПТС (аналитические, оптимизационные, регрессионные и пр.). В данном случае рассматривается применение одной из разновидностей дискретной графовой модели — модель ПТС на основе сети Петри и сопутствующие ей матричные модели, описывающие особенности взаимосвязей между элементами в рамках модели.
Важно заметить, что, поскольку математическая модель отображает функционирование реальной ПТС, то она должна обеспечивать обработку как определенной, так и частично или полностью неопределенной информации. Следовательно, и параметры ПТС также могут принимать как определенные, так и неопределенные значения. Реализация каждого оператора модели, отображающего определенное соотношение между ее параметрами, изменяет соответственно и состояние.
На рисунке 1 в качестве примера для рассмотрения приведена функциональная структура модели ПТС с гидроэнергетическими установками (техническая подсистема), представленная в виде сети Петри, где X — вектор параметров, характеризующих ПТС, Е — вектор воздействий на ПТС со стороны электроэнергетической системы (ЭЭС), Щ — вектор воздействий на ПТС со стороны водохозяйственной системы (ВХС), и — вектор управляющих решений, Мх — моделирование взаимодействий между подсистемами ПТС, приводящих к изменениям ее параметров, 1% — моделирование изменений воздействий на ПТС со стороны ЭЭС, Мш — моделирование изменений воздействий на ПТС со стороны ВХС, Ми — моделирование подсистемы управления ПТС, Мп — моделирование нового состояния ПТС в результате воздействий со стороны ЭЭС и ВХС, Мр- моделирование нового состояния ПТС в результате управляющих воздействий, Мх*х — проверка принадлежности X области допустимых значений X*, М — проверка на утяжеленный и аварийный режимы,
МАх — определение запаса по параметрам ПТС, А^1 = |х — | , Лх2 = |х — | , 1а — выдача информации об
аварийном состоянии или об утяжеленном режиме, 1Ах — выдача информации о запасе по допустимым значениям параметров ПТС, А — выдача информации о состоянии ПТС с условиях аварийного режима функционирования.
Рисунок 1. Функциональная структура модели ПТС
На рисунке символами д1г д2, дЬб показаны переходы между описываемыми элементами сети множества Р=. Для формализованного отображения этой структуры формируется так называемая матричная функция инцидентности, значения которой могут изменяться при изменении схемы переходов. Эта схема ориентирована на моделирование краткосрочных режимов функционирования ПТС, когда характеристики природной подсистемы (сток, температура воды, воздуха, гидрохимические, гидробиологические показатели и т.д.) практически неизменны. Для более длительных режимов (сезонное, годичное, многолетнее регулирование) в структуру модели необходимо добавить фрагмент, моделирующий изменение вектора внешних воздействий со стороны природной подсистемы — N.
В общем случае модель ПТС может иметь практически бесконечное множество состояний, однако в условиях сформировавшихся причинно-следственных отношений в саморегулирующейся природной подсистеме и при наличии развитой структуры управления технической подсистемой последовательности изменения состояний становятся логически определенными. Они обуславливаются выбранной стратегией
управления функционированием ПТС. При этом выбор стратегии зависит от стадии формирования природно-технической системы:
проектирование — прогноз режимов функционирования ПТС при обосновании параметров инженерных объектов;
строительство — выбор режимов функционирования ПТС в условиях строительства объектов;
эксплуатация — выбор режимов функционирования ПТС в оперативном, краткосрочном, среднесрочном и долгосрочном периодах работы.
В отличие от широко применяемых имитационных моделей, где последовательность переходов от одного блока к другому однозначно определена заданием исходной информации, в данной модели в момент ввода исходных данных она не имеет однозначного определения. Эта последовательность выбирается в процессе моделирования в соответствии с заданными критериями достижения поставленных целей функционирования ПТС и ограничениями на область изменения ее параметров.
Формализованной задачей модельного поиска оптимального функционирования ПТС является комплекс следующих параметров:
где Хо — начальное значение параметров, характеризующих ПТС, Хц — конечное значение параметров, характеризующих ПТС, соответствующее критериям достижения поставленной цели, иц — управляющие воздействия в ПТС, Ьц — последовательность выполнения операторов на модели для перевода ее в состояние с конечными значениями параметров Хц, Е, Щ — соответственно возмущения со стороны технической и природной подсистем ПТС, Гц — вектор критериев достижения заданных целей функционирования ПТС, Фх — область допустимых значений параметров.
Задача поиска оптимального решения будет выполнимой, если существует хотя бы одна последовательность действий операторов Гц, приводящая Хо в Хц при выполнении условия Хо, Хце Фх. Значения параметров Хц, полученные в результате такого решения, будут являться рациональными. Если существует несколько возможных последовательностей действия операторов Гц, приводящих к рациональным решениям, среди них можно выбрать группу эффективных решений, близких к оптимальным.
Среди множества задач, возникающих на разных стадиях создания природно-технической системы, можно выделить следующие:
а) выбор оптимальной компоновки технических сооружений, обоснование их основных параметров и т.д.;
б) коррекция последовательности этапов возведения отдельных сооружений и режимов функционирования в период строительства (который может продолжаться несколько десятков лет) и т.д.
в) выбор режимов функционирования при постоянной эксплуатации, ликвидация аварийных ситуаций и т.д.
Для решения вышеперечисленных задач может применяться множество моделей ПТС. При этом многие задачи решаются асинхронно (например, задачи проектирования и управления), но ряд задач взаимоувязан (например, задачи оперативного управления). Поэтому для второго класса (взаимоувязанных задач) формируются комплексы моделей ПТС, имеющие сложную структуру, которая может быть упорядочена с использованием сетей Петри. Например, на рисунке 2 представлена функциональная структура модели ПТС, позволяющая решать взаимоувязанные задачи управления в соответствии с временной иерархией (оперативное, краткосрочное управление и т.д.).Важно отметить, что рассматриваемая обобщенная модель отображает именно асинхронные процессы, при этом согласование фрагментов (отдельных локальных моделей) происходит путем информационного обмена, который моделируется операторами II, 12, . Эти операторы отображают процесс промежуточной обработки информации между локальными моделями, включающий: сортировку, экстраполяцию, интерполяцию, усреднение и т.д.
Рисунок 2. Функциональная структура обобщенной модели ПТС
Порядок действия операторов модели определяется целенаправленной структурой переходов, под которой понимается заданная в соответствии с поставленной задачей последовательность переходов от одних фрагментов модели к другим, причем при формализованном описании модели реализация тех или иных переходов, а следовательно и действия операторов происходит в соответствии с текущей разметкой. Для полной постановки задачи на модели ПТС, кроме подготовки данных необходимо указать начальную разметку.
При формировании и применении математических моделей для решения прикладных задач проектирования и эксплуатации ПТС важным моментом является определение характерных свойств объектов ПТС. Так, например, объект «водохранилище» относится к типу олиготрофных, мезотрофных, эвтотрофных, гипертрофных в зависимости от характерного свойства — трофического статуса и т.д. [1]
Формализация характерных свойств объекта осуществляется путем связывания с ним специальных признаков — «атрибутов», представляющих для каждого объекта р специальный вектор А: Ар=(а1, а2, . ап), компоненты которого являются величинами, характеризующими отдельные свойства объекта р.
Например, для объекта «водохранилище» компонентами такого вектора могут быть: а1 — характерная длина, а2 — характерная ширина, а3 — характерная глубина, а$- характерная скорость движения воды,
а 5 — средняя температура летом, а6- средняя температура зимой, а7 — наличие или отсутствие ледового покрова зимой и т.д. Для объекта «гидроэлектроустановка» (ГЭУ): а1 — установленная мощность, а2 — расчетный напор, а3 — максимальный расход воды гидроагрегатов в турбинном режиме, а$- максимальный расход воды гидроагрегатов в насосном режиме, а5 — максимальный расход холостых водосбросов, а6- длина деривации, а7 — среднее число операций пуска-останова агрегатов в сутки, а3 — максимальный суточный расход ГЭУ, а9 — минимальный суточный расход ГЭУ и т.д.
Каждая составляющая вектора а± имеет область значений Ар1, соответствующую объекту типа Р1, область значений ^1р2, соответствующую объекту типа Р2 и т.д. Тогда рассматриваемый в данный момент объект р, значение вектора атрибутов которого а=(а1г а2, ■■■, ап) принадлежит типу Р1, если все эти значения а^ попадают в соответствующие области Б±р1. Это можно математически записать следующим образом:
реР1, если VI, а2е Ар1; реР2, если VI, а2е Ар2;
где б — число типов объекта р в соответствии с введенной для него классификацией. В ряде случаев, при большом количестве п введенных атрибутов для объекта р, его принадлежность к тому или иному типу следует определять не по всем атрибутам, а по их некоторому (меньшему) количеству, так называемому «ключу». Тогда:
реР1, если а±е Б±р1; 1=11, 12, !т, где г
Связь между объектами р± и р^ природно-технической системы отображается с помощью матричной
Здесь Я — число выделенных объектов ПТС, ї±^=0, если рі не связан с рj> ї±^=1, если р± связан с р^. На стадии проектирования ПТС при различных вариантах компоновки ее объектов значения ^ могут меняться с 0 на 1 и обратно.
Информационный анализ логической структуры ПТС осуществляется поэтапно, он ориентирован на решаемые задачи. Алгоритм информационного анализа в общем виде представлен на рисунке 3. На первом этапе проводится условное ограничение информационной области, соответствующей как решаемой задаче, так и используемым математическим моделям. При этом за основу должны быть приняты принципы необходимости и достаточности.
Рисунок 3. Обобщенная схема информационного анализа ПТС
Следующим этапом является формирование, формализация и упорядочение информации о ПТС, идентифицирующей ее положение в природно-экономической системе региона. Сюда включается информация о местоположении и основных параметрах объектов технической подсистемы ПТС, информация об особенностях природной подсистемы и т.д. На этом этапе важно максимально сократить избыточную информацию.
Третий и четвертый этапы посвящены анализу и формированию информации о назначении технических объектов и эксплуатационных режимах их работы, а также классификации объектов природной и технической подсистем по типам.
На пятом этапе устанавливаются связи между различными типами объектов ПТС.
Шестой этап ориентирован на определение необходимой и достаточной информации по каждому объекту ПТС, обеспечивающей модельные решения задач проектирования, эксплуатации и т.д.
На седьмом этапе формируется обобщенная диаграмма информационной структуры ПТС.
Остальные этапы посвящены анализу корректности формирования информационных блоков по объектам ПТС с учетом полученной обобщенной диаграммы. В том случае, если заключительный анализ построенной логической схемы показывает ее корректность, создается концептуальная схема и банк данных изучаемой природно-технической системы.
Литература
3. Гуков Л.И. Макетирование, проектирование и реализация диалоговых информационных систем / Л.И. Гуков, Е.И. Ломако, А.В. Морозова. — М.: Финансы и статистика, 1993. — 320 с.
Источник