Природа волн де бройля

Это соотношение отражает особое специфическое свойство волн де Бройля.

2) Групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частиц: υ_r = ds/dt = υ.

3) Длинам боровских орбит соответствуют стоячие волны де Бройля, т.е. в длину боровской орбиты укладывается целое число стоячих волн де Бройля: 2πr_n = nλ.

9. Соотношения неопределенностей Гейзенберга, их физическое содержание

Принцип неопределённости Гейзенберга — в квантовой механике так называют принцип, дающий нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние системы.

Соотношения неопределённости Гейзенберга — это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана. Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау.

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна. (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определённым значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни каким-либо определённым значением импульса (включая его направление).

Соотношение неопределенности Гейзенберга показывает, что “между точностью, с которой одновременно может быть установлено положение частицы, и точностью ее импульса существует определенное соотношение”: q p ≥ h ,

где — среднеквадратичное отклонение.

Источник

Гипотеза и формула де Бройля. Экспериментальное подтверждение гипотезы

В 1924 г. французский физик де Бройль высказал смелую гипотезу о сходстве между светом и частицами вещества, что если свет обладает корпускулярными свойствами, то и материальные частицы, в свою очередь, должны обладать волновыми свойствами. Движению любой частицы, обладающей импульсом , сопоставляется волновой процесс с длиной волны:

. (20.1)

Это выражение называется длиной волны де Бройля для материальной частицы.

Существование волн де Бройля может быть установлено лишь на основе опытов, в которых проявляется волновая природа частиц. Так как волновая природа света проявляется в явлениях дифракции и интерференции, то для частиц, обладающих по гипотезе де Бройля волновыми свойствами, должны также обнаруживаться эти явления.

Трудности наблюдения волновых свойств частиц были связаны с тем, что в макроскопических явлениях эти свойства не проявляются.

Зафиксировать такую короткую длину волны не удается ни в одном из опытов. Однако если рассматривать электроны, масса которых очень мала, то длина волны станет достаточной для ее экспериментального обнаружения. В 1927 г. гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах американских физиков Дэвиссона и Джермера.

Простые расчеты показывают, что длины волн, связанных с частицами, должны быть очень малы, т.е. значительно меньше длин волн видимого света. Поэтому дифракцию частиц можно было обнаружить не на обычной дифракционной решетке для видимого света (с постоянной решетки ), а на кристаллах, атомы в которых расположены в определенном порядке на расстояниях друг от друга ≈ .

Вот почему в своих опытах Дэвиссон и Джермер изучали отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе.

Схема опыта представлена на рис. 20.1. В вакууме узкий пучок моноэнергетических электронов, получаемый с помощью электронно-лучевой трубки 1, направлялся на мишень 2 (поверхность монокристалла никеля, сошлифованная перпендикулярно к большой диагонали кристаллической ячейки). Отраженные электроны улавливались детектором 3, соединенным с гальванометром. Детектором, который можно было устанавливать под любым углом относительно падающего луча, улавливались только те электроны, которые испытывали упругое отражение от кристалла.

По силе электрического тока в гальванометре судили о количестве электронов, зарегистрированных детектором. Оказалось, что при отражении электронных пучков от поверхности металла наблюдается картина, которую невозможно предсказать на основе классической теории. Число электронов, отраженных в некоторых направлениях, оказалось больше, а в некоторых меньше, чем следовало ожидать. То есть возникало избирательное отражение в определенных направлениях. Особенно интенсивно рассеяние электронов происходило под углом при ускоряющем напряжении .

Объяснить результаты эксперимента оказалось возможным лишь на основе волновых представлений об электронах. Атомы никеля, расположенные на шлифованной поверхности, образуют регулярную отражательную дифракционную решетку. Ряды атомов перпендикулярны плоскости падения. Расстояние между рядами d = 0,091 нм. Эта величина была известна из рентгенографических исследований. Энергия электронов невелика и они не проникают глубоко в кристалл, поэтому рассеяние электронных волн происходит на поверхностных атомах никеля. В некоторых направлениях рассеянные от каждого атома волны усиливают друг друга, в других – происходит их гашение. Усиление волн произойдет в тех направлениях, в которых разность расстояний от каждого атома до точки наблюдения равняется целому числу длин волн (рис. 20.2).

Для бесконечно удалённой точки условие усиления рассеянных волн запишется в виде 2 dsinθ = nλ (формула Бреггов, n − порядки дифракционных максимумов). Для и значения угла дифракции соответствует длина волны

нм. (20.2)

Поэтому движение каждого электрона можно описать с помощью волны с длиной 0,167 нм.

Формула де Бройля (20.1) приводит к такому же результату для длины волны. Электрон, ускоренный в электрическом поле разностью потенциалов , обладает кинетической энергией . Так как модуль импульса частицы связан с ее кинетической энергией соотношением , то выражение (20.1) для длины волны можно записать в виде: . (20.3)

Подставив в (20.3) численные значения величин, получим:

.

Оба результата хорошо совпадают, что подтверждает наличие волновых свойств у электронов.

В 1927 г. волновые свойства электронов были подтверждены в независимых экспериментах Томсона и Тартаковского. Ими были получены дифракционные картины при прохождении электронов через тонкие металлические пленки.

В опытах Томсон электроны в электрическом поле разгонялись до больших скоростей при ускоряющем напряжении , что соответствовало длинам волн электронов от до (согласно формуле (20.3)). При этом вычисления проводились по релятивистским формулам. Тонкий пучок быстрых электронов направлялся на золотую фольгу толщиной Использование быстрых электронов связано с тем, что более медленные электроны сильно поглощаются фольгой. За фольгой помещали фотопластинку (рис.20.3).

Действие электронов на фотопластинку аналогично действию быстрых фотонов рентгеновского диапазона при прохождения их через фольгу из алюминия.

Другое доказательство дифракции электронов в кристаллах дают сходные снимки электронограммы и рентгенограммы одного и того же кристалла. С помощью этих снимков можно определить постоянную кристаллической решетки. Вычисления, проведенные с помощью двух различных методов, приводят к одинаковым результатам.После продолжительной бомбардировки фольги электронами на фотопластинке образовывалось центральное пятно, окруженное дифракционными кольцами. Происхождение дифракционных колец такое же, как и в случае дифракции рентгеновских лучей.

Наиболее наглядные экспериментальные результаты, подтверждающие волновую природу электронов, получены в опытах по дифракции электронов

Рис. 20.4

на двух щелях (рис. 20.4), выполненных впервые в 1961 г. К. Йёнсоном. Эти опыты – прямая аналогия опыта Юнга для видимого света.

Поток электронов, ускоренных разностью потенциалов 40 кВ, после прохождения двойной щели в диафрагме попадал на экран (фотопластинку). В местах попадания электронов на фотопластинке образуются темные пятна. При большом числе электронов на фотопластинке наблюдается типичная интерференционная картина в виде чередующихся максимумов и минимумов интенсивности электронов, полностью аналогичная интерференционной картине для видимого света. Р ₁₂ − вероятность попадания электронов в различные участки экрана на расстоянии x от центра. Максимальная вероятность соответствует дифракционному максимуму, нулевая вероятность – дифракционному минимуму

Характерно, что все описанные результаты опытов по дифракции электронов наблюдаются и в том случае, когда электроны пролетают через экспериментальную установку “поодиночке”. Этого можно добиться при очень малой интенсивности потока электронов, когда среднее время пролета электрона от катода до фотопластинки меньше, чем среднее время между испусканием двух последующих электронов с катода. На рис. 20.5 показаны фотопластинки после попадания различного числа электронов (экспозиция возрастает от рис. 20.5а к рис. 20.5в).

Последовательное попадание на фотопластинку все возрастающего количества одиночных электронов постепенно приводит к возникновению четкой дифракционной картины. Описанные результаты означают, что в данном эксперименте электроны, оставаясь частицами, проявляют также волновые свойства, причем эти волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, а не только системе из большого числа частиц.

В 1929 г. Штерн и Эстерман показали, что и атомы гелия () и молекулы водорода () также претерпевают дифракцию. Для тяжелых химических элементов длина волны де Бройля очень мала, поэтому дифракционные картины либо совсем не получались, либо были весьма расплывчатыми. Для легких атомов гелия и молекул водорода средняя длина волны при комнатной температуре порядка 0,1 нм, то есть того же порядка, что и постоянная кристаллической решетки. Пучки этих атомов не проникали вглубь кристалла, поэтому дифракция молекул осуществлялась на плоских двумерных решетках поверхности кристалла, аналогично дифракции медленных электронов на плоской поверхности кристалла никеля () в опытах Дэвиссона и Джермера. В результате наблюдались четкие дифракционные картины. Позднее была обнаружена дифракция на решетках кристаллов очень медленных нейтронов.

Источник